经典力学手记：从零开始的Noether's Theorem

诺特定理（Noether's Theorem）作为理论物理的重要结论之一，它表达了：系统的连续对称性与守恒量一一对应。该定理由二十世纪著名女数学家Emmy Noether发现，因其优美而深刻，被爱因斯坦评价为“penetrating mathematical thinking”。

鉴于许多教材的叙述都采取了复杂的数学记号，使得初学者难以理解，因此本文旨在：以拉格朗日力学的常识作为基础，使用接地气（不含场论、李代数）的语言和更清晰的推导过程，帮助初学者快速了解诺特定理的推导及应用。

诺特定理（基础版）

不妨从一个简单版的诺特定理陈述^[1]开始。

首先，既然诺特定理是阐明了“系统的连续对称性与守恒量”对应关系的定理，因此在开始之前，有必要阐释清楚”对称性“的含义。对称性，即是”变换下的不变性“。是在变换下体现的。变换这一概念经常容易给初学者造成困惑。实际上，变换的意思就是把系统中某个量，以某一方式加以改变。对于广义坐标 $q$ 的变换，可以写成 $q \to q'$ 。而 $q'$ 又可以用对 $\epsilon$ 连续的函数 $q'(\epsilon)$ 表示。这个函数表达了一种变换方式。譬如对某一方向进行平移，那么 $q'(\epsilon)$ 可以写成

$q'(\epsilon) = q + \epsilon \cdot n$

的样子。其中 $\epsilon$ 描述的是“进行多少程度的这个变换”。

诺特定理讨论的是所谓的“无穷小变换（infinitesimal transformation）”，从这个意义上讲，显然， $\epsilon$ 的取值应该很小。当 $\epsilon=0$ 时，这个变换后的 $q'$ 是等于 $q$ 的。

好，接下来可以叙述我们的基础版诺特定理了：

诺特定理（基础版） 如果系统的拉格朗日量在连续无穷小变换 $q \to q' = q'(\epsilon)$ （ $\epsilon$ 是一阶小量）下不产生改变，

$L \left( q'(\epsilon) , \dot{q’} (\epsilon) \right) - L \left( q , \dot{q} \right) = 0, \\ \iff \left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L \left( q'(\epsilon) , \dot{q’} (\epsilon) \right) \right|_{\epsilon=0} = 0$

则系统存在守恒量

$\Lambda = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot q } \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0}.$

证明：

首先，

$\begin{align} 0 = \left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L \left( q'(\epsilon) , \dot{q'} (\epsilon) \right) \right|_{\epsilon=0} \\ = \left. \frac{\partial L} {\partial q } \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot q } \frac{ \mathrm{d} \dot q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \tag{1.1} \end{align}$

又因为有欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）：

$\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \right)$

将它代入之前的式子1.1中，

$0 = \left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \right) \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot q } \frac{ \mathrm{d} \dot q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \\ = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \left. \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0}\right)$

因此，得到守恒量（又称运动积分）

$\Lambda = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot q } \frac{ \mathrm{d} q'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0}.$

QED.

这就是基础版诺特定理的叙述和证明，我想大多数读者都会认为：嘛，原来这就是诺特定理，其实也没有那么难呀。诚然，诺特定理的核心本来也并不复杂。

为了帮助大家活学活用，我们不妨来找一些例子，用来加深理解。

Ex 1. 自由粒子的动量守恒与角动量守恒

自由粒子的拉格朗日量可以写作

$L = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2.$

如果考虑一个空间平移变换，即上文提到的 $\mathbf{r} \to \mathbf{r}' = \mathbf{r}' (\epsilon) = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}}$ 这个变换下，存在不存在守恒量？先验证拉格朗日量在这个变换下是否改变：由于拉格朗日量不含位移项，自然满足

$\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L = 0,$

因此存在守恒量

$\begin{align} \Lambda & = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot x } \frac{ \mathrm{d} x'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot y } \frac{ \mathrm{d} y'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot z } \frac{ \mathrm{d} z'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \\ & = p_x \cdot n_x + p_y \cdot n_y + p_z \cdot n_z \\ & = \mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{n}}. \end{align}$

该守恒量代表的是粒子的动量在平移变换方向的投影，通俗讲，意思就是粒子动量在 $\hat{\mathbf{n}}$ 方向是守恒的。

再考虑绕着 $\hat{\mathbf{n}}$ 轴的旋转变换

$\mathbf{r} \to \mathbf{r}' = \mathbf{r}' (\epsilon) = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r},$

出于同样的理由（ $L$ 不含 $\mathbf{r}$ 项），有

$\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L = 0,$

因此，存在守恒量

$\begin{align} \Lambda & = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot x } \frac{ \mathrm{d} x'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot y } \frac{ \mathrm{d} y'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot z } \frac{ \mathrm{d} z'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \\ & = \mathbf{p} \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}). \end{align}$

通过简单的矢量关系，

$\Lambda = \mathbf{p} \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}) = (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) \cdot \hat{\mathbf{n}},$

显然，这就是角动量在 $\hat{\mathbf{n}}$ 轴方向的投影。这意味着 $\hat{\mathbf{n}}$ 方向的角动量守恒。

Ex 2. 球对称势场下的动量守恒和角动量守恒

需要提醒大家注意的是，诺特定理是用来获得某个特定系统的守恒量的工具。因此，对于不同系统，不同拉格朗日量，不能一概而论。

比如说，在球对称势场下，拉格朗日量表达式如下

$L = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2 - V(r).$

这个场景下，还存在动量守恒吗？在平移变换 $\mathbf{r} \to \mathbf{r}' = \mathbf{r}' (\epsilon) = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}}$ 下，

$\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L = - \nabla_{\mathbf{r}}V(r') \cdot \frac{\partial \mathbf{r'}}{\partial \epsilon} = - \nabla_{\mathbf{r}}V(r') \cdot \hat{\mathbf{n}}$

¹因此，

$\left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L \right|_{\epsilon=0} = - \nabla_{\mathbf{r}}V(r) \cdot \hat{\mathbf{n}}$

显然，只有当 $\nabla_\mathbf{r} V$ 的方向垂直于 $\hat{\mathbf{n}}$ 时，即力的方向垂直于平移方向的时候，才存在守恒量

$\Lambda= \mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{n}}.$

读者应该明白，球对称势场是方向朝向势场中心的力形成的²。因此，上式表明，垂直于的指向中心的方向动量守恒。虽然此例中动量守恒依然存在，但是条件更为严格。

对于角动量而言，旋转变换 $\mathbf{r} \to \mathbf{r}' = \mathbf{r}' (\epsilon) = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}$ 下，

$\left. \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \epsilon } L \right|_{\epsilon=0} = -\nabla_\mathbf{r} V \cdot (\hat{\mathbf{n}} \times\mathbf{r}),$

既然 $\nabla_\mathbf{r} V$ 指向势场中心，所以该点乘必然得0。所以角动量守恒依然存在，

$\Lambda = (\mathbf{r} \times \mathbf{p}) \cdot \hat{\mathbf{n}}.$

不过值得注意的是，角动量的 $\mathbf{r}$ 的起点已经不能任意决定了。只有从势场中心出发的 $\mathbf{r}$ 对应的角动量在系统中才是守恒量。

另外，既然是球对称势场，采用球坐标系 $(r, \theta, \phi)$ 来描述应该更能反映系统的对称性。于是拉格朗日量可以写成

$L = \frac{1}{2}m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \sin^2{\theta}) - V(r).$

考虑沿 $\theta$ 和 $\phi$ 方向的旋转：

$\mathbf{r} \to \mathbf{r'} = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \hat{\mathbf{n}} = \mathbf{r} + \epsilon \cdot \theta_0 \hat{\mathbf{\theta}} + \epsilon \cdot \phi_0\hat{\mathbf{\phi}}$

由于拉格朗日量中根本不含 $\theta$ 和 $\phi$ ，因此变换下拉格朗日量显然不会改变。由此产生的守恒量：

$\begin{align} \Lambda & = \left. \frac{\partial L} {\partial \dot r } \frac{ \mathrm{d} r'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot \theta } \frac{ \mathrm{d} \theta'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} + \left. \frac{\partial L} {\partial \dot \phi } \frac{ \mathrm{d} \phi'}{ \mathrm{d} \epsilon } \right|_{\epsilon=0} \\ & = 0+mr^2\dot \theta \cdot \theta_0 + mr^2 \sin^2{\theta} \cdot \dot{\phi} \cdot \phi_0 \\ \end{align}$

考虑到

$\mathbf{L} = m r \hat{\mathbf{r}} \times (\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot \theta\hat{\mathbf{\theta}} + r \dot \phi \sin \theta \hat{\mathbf{\phi}}) = mr^2\dot \theta \cdot \hat{\mathbf{\phi}} - mr^2 \sin^2{\theta} \cdot \dot{\phi} \cdot \hat{\mathbf{\theta}}$

将 $\Lambda$ 拆分成

$\begin{align} \Lambda & = (mr^2\dot \theta \cdot \hat{\mathbf{\phi}} - mr^2 \sin^2{\theta} \cdot \dot{\phi} \cdot \hat{\mathbf{\theta}}) \cdot (\theta_0 \hat{\mathbf{\phi}} - \phi_0 \hat{\mathbf{\theta}}) \\ & = \mathbf{L} \cdot (\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{n}}). \end{align}$

意思就是，角动量沿转动变换的转动轴方向的投影守恒。

诺特定理（进阶版）

我们的基础版诺特定理只考虑了拉格朗日量保持不变的情况。这也必然限制了其不能够用于对时间的变换上（试想如果有个变换伸长了时间，那么变换前后拉格朗日量的一一对应都是成问题的）。

如果要讨论时间变换的问题，我们需要把目光从拉格朗日量移到作用量上。如果系统的作用量（Action）在变换下拥有对称性（保持不变），那么系统是否也存在守恒量？

在继续进行以前，需要对变换这个概念再说两句。上文提到的变换，形式普遍都很简单，无非是一个 $\epsilon$ 的线性函数。然而实际上变换的形式可以非常复杂。不过作为无穷小变换，产生的改变总是微小的。我们可以采用变分法传统，使用 $\delta$ 记号来表示这个微小的变化：

$q \to q' = q + \delta q$

之后都会用这种方式表示“无穷小变换”。

不考虑时间变换的形式

回到正题，我们先把作用量的表达式写出来：

$S[q] = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t L \left(q(t), \dot q(t), t\right)$

如果我们暂且先不考虑时间变换的问题，那么事情不会很复杂。在变换

$q(t) \to q'(t) = q(t) + \delta q(t)$

下，我们可以直接写出

$\begin{align} 0 & = S[q+ \delta q] - S[q] \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t L \left(q(t) + \delta q(t), \dot q(t) +\delta \dot q(t), t\right) - \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left(L \left(q(t) + \delta q(t), \dot q(t) +\delta \dot q(t), t\right) - L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q(t) \right) \end{align}$

这里进行了一阶近似。故技重施，代入又欧拉-拉格朗日方程：

$\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \right),$

得到

$\begin{align} 0 & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \right) \delta q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t }\delta q(t) \right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \delta q(t) \right) \right). \end{align}$

对 $\delta q(t)$ 做一阶近似，

$\delta q(t) = \epsilon \Psi(q, t),$

可以得到

$0=\epsilon\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q, t) \right) \right).$

又考虑到 $t_1,t_2$ 可以任取，因此必有守恒量

$\Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q, t).$

实际上，这就是之前的结果，没有任何新意。如果我们加上时间变换，事情就复杂了。

考虑时间变换的形式

考虑时间变换

$t \to t' = t + \delta t,$

以及空间变换

$q(t) \to q'(t') = q(t) + \delta q(t).$

这个变换有个特别重要的问题：等式左边的自变量是 $t'$ ，右边是 $t$ 。因此 $\delta q(t)$ 既包含了 $q$ 的变换，也包含了 $t$ 的变换。对于另一种只考虑 $q$ 不考虑 $t$ 的变换，按照Goldstein^[2]的记法，采用 $\bar{\delta}$ 来表达：

$q(t) \to q'(t) = q(t) + \bar{\delta} q(t).$

从作用量不变出发可以写出

$\begin{align} 0 & = S[q'(t')] - S[q(t)] \\ & = \int_{t_1+\delta t_1}^{t_2+\delta t_2} \mathrm{d}t' L \left(q'(t') , \dot q'(t') , t' \right) - \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \\ \end{align}$

对于左手边，因为 $t'$ 是积分变量，换成谁都无所谓，于是将其改为 $t$ 。另外，把左手边拆成三截：

$\int_{t_1+\delta t_1}^{t_2+\delta t_2} = \int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2} - \int_{t_1}^{t_1 + \delta t_1}$

则上式可以写成

$\begin{align} 0 & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left(L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) - L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \right) \\ & +\int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2} \mathrm{d}t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \\ & - \int_{t_1}^{t_1 + \delta t_1} \mathrm{d}t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{\partial L \left(q(t), \dot q(t), t\right)}{\partial q} \bar{\delta} q(t) + \frac{\partial L\left(q(t), \dot q(t), t\right)}{\partial \dot q} \bar{\delta} \dot q(t) \right) \\ & +\int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2} \mathrm{d}t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \\ & - \int_{t_1}^{t_1 + \delta t_1} \mathrm{d}t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \end{align}$

这里对两个 $L$ 的差做了线性近似。之后就可以故技重施，代入又欧拉-拉格朗日方程。注意这里利用了 $\bar{\delta} \dot q(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t } \bar{\delta} q(t)$ 的性质。由之前给出的变换的表达式可以看出来这个性质对 $\delta q$ 而言是没有的。

对前一项施用欧拉—拉格朗日方程，后两项佐以积分中值定理，上式可以改写成

$\begin{align} & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \bar{\delta} q(t) \right) - \delta t_1 L \left(q'(t_1), \dot q'(t_1), t_1\right) + \delta t_2 L \left(q'(t_2), \dot q'(t_2), t_2\right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \bar{\delta} q(t) \right) + \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \delta t L \left(q'(t), \dot q'(t), t\right) \right) \end{align}$

第一项中的量已经全部改写成是 $q,\dot q$ 的函数了。为了保持一致，对后一项进行一样改写：

$=\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \bar{\delta} q(t) \right) \\ + \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t }\left( \delta t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) + \delta t \left( \frac{\partial L}{\partial q} \bar{\delta} q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \bar{\delta} \dot q(t) \right) \right) \tag{2.1}$

后一项出现了 $\delta t \cdot \bar{\delta} q(t)$ ，这是高阶小量，略去不计，得到

$=\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \bar{\delta} q(t) + \delta t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \right)$

同时，由于 $q$ 的变换往往都用 $\delta q$ 给出，因此也需要 $\bar{\delta} q(t)$ 进行改写：

$\begin{align} \bar{\delta} q(t) - \delta q(t) = q'(t) - q'(t') \\ & = q(t) - q(t') + (\bar{\delta} q(t) - \bar{\delta} q(t')) \\ & = - \dot q \delta t - \frac{\mathrm{d} \bar{\delta} q(t)}{\mathrm{d} t} \delta t \\ & = - \dot q \delta t \end{align}$

上面略去了高阶小量。带回原式，得到

$\begin{align} 0 & =\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} (\delta q(t) - \dot q \delta t) + \delta t L \left(q(t), \dot q(t), t\right) \right) \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \delta q(t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right)\delta t \right). \end{align}$

这基本上就是我们期望的最终形式了。对 $\delta t$ 和 $\delta q$ 做一阶近似：

$\delta t = \epsilon X(q,t), \delta q = \epsilon \Psi(q,t)$

则上式化为

$0 = \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q,t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right) X(q,t) \right)$

所以，我们断言守恒量 $\Lambda$ 是

$\Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q,t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right) X(q,t).$

注意到后一项括号中的 $L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q = -H$ 。如果系统作用量在时间平移（ $\Psi=0, X=1$ ）下不变（拉格朗日量不显含时间就是一个最好的例子），我们可以由此立即导出能量守恒：

$\Lambda = H.$

Ex 3. 平方反比势下的粒子运动

为了演示作用量不变下，如何用诺特定理获知系统的守恒量，这里考察一个平方反比势下粒子的运动^[4]。

首先写出系统的作用量

$S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - \frac{\alpha}{x^2} \right) \mathrm{d}t.$

我们的变换来自Weyl对称性（Weyl symmetry）：

$t \to t' = \lambda t, \quad x \to x'(t') = \sqrt{\lambda} x(t).$

在这个变换下，速度

$\dot x \to \dot x' = \frac{\mathrm{d} (\sqrt{\lambda} x)}{\mathrm{d} (\lambda t)} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \dot x$

首先验证作用量不变：

$\begin{align} S' & = \int_{\lambda t_1}^{\lambda t_2} \left( \frac{1}{2}m \dot{x'}^2 - \frac{\alpha}{{x'}^2} \right) \mathrm{d}t' \\ & = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{1}{2}m \frac{\dot{x}^2}{\lambda} - \frac{\alpha}{\lambda{x}^2} \right) \lambda \mathrm{d}t \\ & = S. \end{align}$

因此，存在守恒量

$\Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot x} \Psi + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot x} \dot x \right) X.$

对上述变换进行一阶展开：

$t \to t' = t + \epsilon t, \quad x \to x'(t') = x(t) + \frac{1}{2} \epsilon x(t), \\ \implies \Psi = \frac{1}{2} x(t), \quad X = t.$

从而守恒量

$\Lambda = \frac{1}{2} mx\dot x - \left( \frac{1}{2}m \dot{x}^2 + \frac{\alpha}{x^2} \right) t.$

带有边界项的形式

另外，就算作用量之差不等于0也不意味着没有守恒量。如果

$S[q'(t')] - S[q(t)] = \int_{t_1+\delta t_1}^{t_2+\delta t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K\left(q'(t) , \dot q'(t), t\right) \right),$

即作用量之差的积分号里多出了一个时间的全微分，而且 $K$ 是以 $\epsilon$ 同阶的小量³，那么也可以找到守恒量。由于积分与微分直接相抵，实际上相当于 $t_2$ 与 $t_1$ 处 $K$ 的相减，因此叫做边界项。

线性化处理并略去高阶小量：

$K\left(q'(t) , \dot q'(t), t\right) = \frac{\partial K}{\partial q} \bar{\delta} q(t) + \frac{\partial K}{\partial \dot q} \bar{\delta} \dot q(t) + K(q(t),\dot q(t), t) \\ = K(q(t),\dot q(t), t)$

改写成2.1式，在其中加入边界项：

$\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K \right) + \delta t_2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K - \delta t_1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \delta q(t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right)\delta t \right),$

略去左边 $\delta t$ 与 $K$ 相乘产生的高阶小量，并将 $K$ 用 $K = \epsilon \cdot \partial K / \partial \epsilon$ 展开，得到守恒量

$\Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q,t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right) X(q,t) - \frac{\partial K}{\partial \epsilon}.$

综上所述

我们终于可以写出诺特定理的表述：

诺特定理（进阶版） 如果在无穷小变换

$t \to t' = t + \delta t = t + \epsilon \Psi(q, t), \\ q(t) \to q'(t') = q(t) + \delta q(t) = q(t) + \epsilon X(q, t)$

下，系统的作用量的改变量满足

$S[q'(t')] - S[q(t)] = \int \mathrm{d}t \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} K \right),$

其中 $K$ 与 $\epsilon$ 是同阶小量，则有守恒量

$\Lambda = \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \Psi(q,t) + \left( L - \frac{\partial L}{ \partial \dot q} \dot q \right) X(q,t) - \frac{\partial K}{\partial \epsilon}.$

注：本文进阶版的推导过程，是参考了几个方面之后建立起来的：大致框架来自于Goldstein[2]，对于边界项K的处理思路主要来自梁坤淼[3]和[4]。值得注意的是[4]没有特别处理时间变换的问题，而是把时间变换引入的项当做是K处理了，这样做行不行得通，我个人不是很肯定。

参考文献

John Baez, Noether's Theorem in a Nutshell, (2002).
Hebert Goldstein et al., Classical Mechanics, 3rd Edition, Addison Wesley (2001).
梁坤淼, 力学（第四版）下册, 高等教育出版社 (2009).
Max Banados and Ignacio Reyes, A short review on Noether’s theorems, gauge symmetries and boundary terms, Int.J.Mod.Phys. D25 (2016), arXiv:1601.03616.
Daniel Arovas, Physics 200A : Lectures and Reading.

¹ 此处的记号遵循了Griffith的记法，

$\nabla_{\mathbf{r}}V(r') = \left(V'(r') \frac{\partial r'}{\partial x},V'(r') \frac{\partial r'}{\partial y},V'(r') \frac{\partial r'}{\partial z} \right).$

² 因为：

$\nabla_\mathbf{r} V(r) = \left(\frac{\partial V(r)}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial V(r)}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y},\frac{\partial V(r)}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z} \right) = \frac{\partial V(r)}{\partial r} \cdot \hat{\mathbf{r}}.$

³ 这一点在梁老师的书^[3]中没有明示，但是在79页上方的第二行推导中的线性化处理暗示了这一点。同样，虽然[4]中的2.18式并没有解释清楚 $K$ 的取值要求，但是根据下文的例子，以及如果 $K$ 与 $\epsilon$ 不同阶时，除以 $\epsilon$ 会出现无穷大问题，都暗示了 $K \sim \epsilon$ 。